Ứng dụng đạo hàm để biện luận số nghiệm của phương trình

Như chúng ta đã biết, trong phần khảo sát hàm số ở bài toán liên quan có phần biện luận số nghiệm của phương trình theo tham số m. Công việc đó khá đơn giản, ta chỉ việc biến đổi phương trình cần biện luận về dạng f(x)=f(m), trong đó, f(x) là hàm số chúng ta vừa khảo sát, còn f(m) là một biểu thức theo m. Ở đây, ta hiểu m là hằng số, vì thế trên hệ tọa độ Oxy nó là đường thẳng song song với trục Ox. Lúc này số nghiệm của phương trình f(x)=f(m) là số giao điểm của 2 đồ thị sau:

Ta quan sát các điểm CĐ, CT rồi đưa ra phương án biện luận cho phù hợp. Thực chất, chúng ta không cần phải vẽ đồ thị, mà chỉ cần dựa vào bảng biến thiên của hàm số y=f(x) cũng có thể biện luận số nghiệm của phương trình f(x)=f(m). Thật vậy, quan sát bảng biến thiên bên dưới, chúng ta có thể kết luận như quan sát đồ thị

 

Tóm lại, sau này nếu muốn biện luận số nghiệm phương trình f(x)=f(m) chúng ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên là có thể giải quyết tốt.
Bây giờ ta xét một số ví dụ khác mà việc ứng dụng đạo hàm vào giải sẽ dễ hơn cách truyền thống rất nhiều..
Ví dụ 1: Hãy biện luận số ghiệm của phương trình

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, để cho (*) có 2 nghiệm dương phân biệt lớn hơn 4 thì 13<m<17

Đ.T.Hiếu - THPT Long Thạnh