Một số phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số

Giới thiệu một vài phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số trong chương trình 11 Cơ bản. Dễ hiểu.



TẢI VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

8 đề củng cố - luyện tập

Tải về xem tại đây...

Bài tập ôn tập học kỳ 1

Tải về tại đây...

1 = -1 ??? [thư giản]

Có phải chăng 1 = -1       ??????????????

$latex -1={{(-1)}^{3}}={{\left( -1 \right)}^{\left( \frac{6}{2} \right)}}={{\left( -1 \right)}^{\left( 6.\frac{1}{2} \right)}}={{\left( {{\left( -1 \right)}^{6}} \right)}^{\frac{1}{2}}}={{\left( 1 \right)}^{\frac{1}{2}}}=1$

Sai lầm ở đâu ?

Hình ảnh báo tường năm 2011

Sáng nay, đoàn trường tổ chức "triển lãm" trưng bài các tờ báo tường của các lớp làm năm 2011.

Sẵn tiện, chụp các tấm hình lại, post lên mạng xem cho vui.

Click vào đây để xem....

Một tấm ảnh

Báo tường năm 2011

Năm nay đoàn trường THPT Long Thạnh phát động làm báo tường chia ra hai chủ đề.
Khối 11 & 12: Phòng chống ma túy
Khối 10: Chủ đề thầy cô, 20/11

Sau đây là một số bài đoạt giải, post lên để ngắm cho vui. Tuy nhiên, ảnh chụp bằng điện thoại "cùi bắp" nên không nét lắm.

12A1 - Lạc

12A4 - Đốt

11A3 - Chung sức

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 2)

Dạng Toán: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng   (cách 2)

PHƯƠNG PHÁP:
- Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng.
- Tìm cách chứng minh giao tuyến đó song song với một đường thẳng nào đó.

Khi đó, giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung và song song với một đường thẳng vừa chứng minh xong.

Cách này áp dụng khi ta đã tìm được một điểm chung, và khi bắt tay vào tìm điểm chung thứ  hai thì khó khăn,tìm hoài mà không thấy nó là giao điểm của hai đường nào cả. Thì lúc này hãy nghĩ ngay đến cách này, có thể chứng minh giao tuyến đó song song với đường nào đó hay không.

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD. P là một điểm thuộc cạnh SB. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SBD) và (MNP)

Giải:

Ta thấy $latex P\in SB\subset (SBD)$
Nên P là điểm chung của (SBD) và (MNP)

Do M, N là trung điểm của AB và AD nên MN  là đường trung bình của tam giác ABD, nên MN // BD

Mà $latex MN\subset (MNP)$
$latex BD\subset (SBD)$
Gọi $latex d=(MNP)\cap (SBD)$
Suy ra d là đường thẳng đi qua điểm  P  và song song với BD.



Hình sau đây hai mặt phẳng được tô màu:



Video trong không gian 3 chiều:

[youtube http://www.youtube.com/watch?v=rpOQb6Op_H0]

Bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng là một dạng cơ bản, chúng ta phải tập và làm cho thành thạo, để sau này áp dụng vào tìm thiết diện.

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 1)

Dạng Toán: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

PHƯƠNG PHÁP:
- Tìm 2 điểm chung của hai mặt phẳng.
- Đường thẳng qua hai điểm chung đó chính là giao tuyến.

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ  giác S.ABCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)

Giải:

Ta thấy S là điểm chung của (SAC) và (SBD)

Gọi $latex O=AB\cap BD$

$latex \Rightarrow O\in AC\subset (SAC)$

$latex \Rightarrow O\in BD\subset (SBD)$

Vậy O là điểm chung thứ hai của (SAC) và (SBD)

Nên giao tuyến là đường thẳng SO.

Còn đây là hình có màu dễ nhìn

Ví dụ 2: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AD. P là một điểm thuộc cạnh AC sao cho AP = 2PC. Hãy tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) và (BCD)

Giải:

Do AP=2PC nên MP không song song BC và NP không song song DC nên kéo dài chúng cắt nhau.

Gọi $latex F=MP\cap BC$
Ta có:
$latex F\in MP\subset (MNP)$
$latex F\in BC\subset (BCD)$

Nên F là điểm chung của (MNP) và (BCD)

Tương tự, gọi $latex E=NP\cap DC$
Ta cũng có E là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến là đường EF

Hình sau đây được tô màu hai mặt phẳng:


Ở cách này, ta chú ý đi tìm 2 điểm chung, thông thương điểm chung thứ nhất rất dễ nhận thấy, còn điểm chung thứ hai, ta cần để ý có hai đường thẳng nào đồng phẳng và không song song, kéo dài ra chúng sẽ cắt nhau tại một điểm nào đó.

Một số video hình học không gian

Một số đối tượng hình học trong không gian:

[youtube http://www.youtube.com/watch?v=l3cSucOZIlA]

Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt:

[youtube http://www.youtube.com/watch?v=4Zb6CCgImac]

Qua ba điểm không thẳng hàng ta có 1 mặt phẳng:

[youtube http://www.youtube.com/watch?v=6CDnA8haqyE]

Dãy Fibonacci và gia đình thỏ

"Một đôi thỏ (gồm 1 thỏ đực và 1 thỏ cái) cứ mỗi tháng đẻ được một đôi thỏ con (cũng gồm một thỏ đực và một thỏ cái); mỗi đôi thỏ con, khi tròn hai tháng tuổi, lại mỗi tháng đẻ ra một thỏ con và quá trình sinh nở cứ thế tiếp diễn. Hỏi sau một năm sẽ có bao nhiêu đôi thỏ, nếu đầu năm (tháng 1) có một đôi thỏ sơ sinh."



Số đôi thỏ tuân theo dãy số Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...

Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal

Dãy Fibonacci và số cánh hoa

Như ta đã biết dãy số Fibanacci được cho bằng công thức truy hồi có dạng:
$latex {{u}_{1}}={{u}_{2}}=1\,\,,\,\,\,\,\,\,{{u}_{n+1}}={{u}_{n-1}}+{{u}_{n-2}}$ với $latex n\ge 3$

Và dạng khai triển là: $latex ({{u}_{n}}):1,\,\,1,\,\,2,\,\,3,\,\,5,\,\,8,\,\,13,\,\,21,\,\,34,\,\,55...$

Có một điều thật thú vị là trong tự nhiên, trong hội họa... lại có nhiều điều trùng khớp với dãy Fibonacci.

Ví dụ như số cánh hoa chẳng hạn:

Hoa Calla Lily có 1 cánh

Euphobia có 2 cánh

Một chút về quy nạp toán học

Một số em than rằng chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học một mệnh đề nào đó đúng sao khó hiểu quá. Cứ thấy nó chung chung, đâu đâu đó, mặc dầu đã làm đúng theo các trình tự.

Một số em khác mặc dầu đã làm rất tốt, chứng minh theo 2 bước của phương pháp quy nạp xong xui hết. Nhưng vẫn không hiểu được bản chất của vấn đề.

Hầu hết ai mới làm quen với phương pháp quy nạp đều cảm thấy thế, cảm thấy chứng minh của mình có cảm giác như không chặt chẽ lắm. Tuy nhiên, nếu làm nhiều, và chịu khó dành thời gian ngồi ngẫm nghĩ lại tập $latex \mathbb{N}^{*}$ và những điều mình vừa làm, thì sẽ dễ hiểu dần. Và sau đó cảm thấy phương pháp quy nạp thật là tuyệt vời.

Để hiểu thêm vấn đề, đầu tiên ta xem lại tập số tự nhiên đã bỏ đi số 0 là:
$latex {{\mathbb{N}}^{*}}=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }1,2,3,4,.............,k,k+1,................\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$

Vậy ta thấy rằng, bất kì số nào trong tập $latex \mathbb{N}^{*}$ đều tồn tại một số liền sau nó. Ví dụ như: số 1 thì có số 2 liền sau, số 2 thì có số 3, số 3 thì có số 4........ và tổng quát nếu có số k nào đó thì số liền sau của nó là k+1
Chính đều này, nó làm cơ sở quan trọng để ta chứng minh quy nạp.

Ví dụ, bài toán sau đây thuộc loại kinh điển khi học phương pháp quy nạp.
Chứng minh rằng với mọi $latex n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ ta luôn có:

$latex 1+2+3+....+n=\frac{n(n+1)}{2}$          (*)

Ta kí hiệu mệnh đề trên là (*). Ta thấy rằng nếu ta lần lượt thay n=1 hoặc n=2, n=3, n=4.... vào thì (*) đều đúng.

Một câu lượng giác trong đề thi Casio

Giải phương trình:
$latex 2\sin x+4\cos x+2\cos 2x=5$
$latex \Leftrightarrow 2\sin x+4\cos x+4{{\cos }^{2}}x=7\,\,\,(*)$
Ta dễ thấy $latex x=\pi $ không phải là nghiệm của (*).
Ta đặt $latex t=\tan \frac{x}{2}\Rightarrow \sin x=\frac{2t}{1+{{t}^{2}}};\cos x=\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}$
$latex (*)\Leftrightarrow 2\frac{2t}{1+{{t}^{2}}}+4\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}+4{{\left( \frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}} \right)}^{2}}=7$
$latex \Leftrightarrow 7{{t}^{4}}-4{{t}^{3}}+22{{t}^{2}}-4t-1=0$
Đặt $latex f(t)=7{{t}^{4}}-4{{t}^{3}}+22{{t}^{2}}-4t-1$
$latex \Rightarrow f'(t)=28{{t}^{3}}-12{{t}^{2}}+44t-4$
Ta dùng máy tính Casio giải, thấy $latex f'(t)=0$ chỉ có 1 nghiệm thực, suy ra f(t)=0 có nhiều nhất là 2 nghiệm thực.
Dùng lệnh Shift Solve để giải, ta tính được:
$latex {{t}_{1}}\approx -0.139534911\Leftrightarrow {{x}_{1}}\approx -0.2772795278+k2\pi $
$latex {{t}_{2}}\approx 0.3285208647\Leftrightarrow {{x}_{2}}\approx 0.6348261953+k2\pi $
Trong đề thi yêu cầu làm tròn tới đâu thì làm tới đó là xong.

Bài tập về nhà

1) Gieo đồng tiền 2 lần liên tiếp. Tính xác suất để hai lần gieo đều xuất hiện các mặt như nhau ?

2) Gieo con súc sắc cân đối và đồng chất 1 lần. Tính xác suất để số chấm xuất hiện không bé hơn 3 ?

3) Một anh nông dân có 36 con vịt, có 45 con gà và 4 đứa con trai. Nhân dịp đầu năm mới, anh định bắt một con gà, một con vịt và kêu một đứa con trai mang biếu nhà Ngoại. Hỏi anh có bao nhiêu cách chọn ?

4) Trong mặt phẳng có 36 điểm khác nhau và không có bất kì ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu vector, đoạn thẳng, tam giác, tứ giác ?

5) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9. Có thể lập được bao nhiêu số:

a) lẻ có 4 chữ số khác nhau ?

b) chẵn có 5 chữ số khác nhau ?

c) có 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 ?

6) Gieo một con súc sắc 2 lần liên tiếp. Tính xác suất để hai lần gieo xuất hiện các mặt giống nhau ?

7) Gieo một đồng tiền 3 lần liên tiếp. Tính xác suất để trong 3 lần gieo có đúng hai lần các mặt xuất hiện giống nhau ?

8) Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton của $latex {{(2a-4)}^{9}}$

9) Tìm hạng tử không chứa x trong khai triển của $latex {{\left( 3{{x}^{3}}-\frac{2}{x} \right)}^{24}}$

Bài tập nhị thức Newton và Xác suất 11CB

Một số bài tập làm thêm, dành cho học sinh tự ôn luyện thêm, để chuẩn bị tốt cho kiểm tra 1 tiết đại số vào cuối chương II.

Các em học sinh có thể click vào đây để tải về máy xem hoặc in ra...

Những tay chơi làm các sòng bạc run sợ [xác suất-thống kê]

Thông thường, chẳng mấy tay chơi có thể đánh bại nhà cái khi chơi bạc, song có những nhân vật muốn thắng lúc nào cũng được. Họ là ai?

(Ảnh: Olamacauguide.com)

Bất cứ ai bước qua cánh cửa sòng bạc đều rất lạc quan, tất cả đều tin rằng họ sẽ là người chiến thắng. Tuy vậy, hầu hết các tay bạc đều là những kẻ thất bại do mỗi ván bài đều được nhà cái tính toán kỹ càng. Nhưng những tay bạc dưới đây đều là kẻ thắng, dù bằng trí thông minh hay bằng gian lận thì họ đã bước ra khỏi sòng bạc với một món tiền khổng lồ.

Có thể nhiều người coi danh sách những tay bạc cự phách là quá Mỹ nhưng đó là những gì cuộc khảo sát này thu thập được. Vì rằng, Mỹ có một văn hóa cờ bạc hơn các nước khác do quốc gia này là nơi đóng đô của thiên đường bài bạc Las Vegas, Atlantic City và hàng chục thành phố nổi tiếng với các sòng bạc khác. 

Điểm TB tính đến 13 tháng 10

Đây là điểm trung bình môn Toán, tính đến ngày 13 tháng 10.

Nhìn chung, có khoản 60% học sinh bị dưới trung bình, nếu không cố gắng thêm, thì kết quả học kỳ 1 sẽ rất tệ.

Bài tập ôn tập hình học, chương 1

Đây là bài tập tham khảo thêm cho việc ôn tập hình học 11, chương 1 để kiểm tra 1 tiết.

Các em có thể tải về máy tính và xem tại đây....

Chuyện vui về Xác suất

Chuyện vui về Xác suất

Con voi

Trong thế chiến II, vào năm 1941 máy bay Đức oanh tạc Matxcova dữ đội, mọi người thường ngủ trong hầm, riêng một nhà thống kê thì không thèm xuống...

Khi được hỏi, ông ta trả lời : "Ở Matxcova có 5 triệu dân, xác suất trúng bom cho một người nào đó là quá thấp!". Đến một hôm nọ mọi người thấy ông ở trong hầm nên rất ngạc nhiên và hỏi ông vì sao. Ông trả lời: "Ồ, có 5 triệu dân ở Matxcova và chỉ có một con voi ở Sở thú, thế mà bạn biết không, hôm qua bọn Đức ném bom chết con voi đó mất !"

Xác suất 1%

Một bệnh nhân tỏ ra lo lắng trước khi được mổ bằng một phương pháp mới.
Bác sĩ phẫu thuật động viên: "Anh yên tâm đi, trường hợp của anh chắc chắn thành công!".
"Dạ sao bác sĩ có thể nói chắc vậy, em nghe nói tỉ lệ thành công của phương pháp này chỉ là 1%!".
"OK. Nhưng tôi đã mổ 99 ca rồi".
"Kết quả như thế nào bác sĩ".
"Thì thất bại hết, nhưng anh may mắn là ca thứ 100, nên thành công là đương nhiên thôi"

Hơn 1 vạn người xem

Trong một trận đá banh, mọi người đều ngạc nhiên khi thấy một người cứ ngồi lẩm bẩm: "Hơn 1 vạn người xem, 22 cầu thủ, 3 trọng tài, gần 5 trăm cảnh sát...;Hơn 1 vạn người xem, 22 cầu thủ, 3 trọng tài, gần 5 trăm cảnh sát...;Hơn 1 vạn người xem, 22 cầu thủ, 3 trọng tài, gần 5 trăm cảnh sát...;"...
Người ngồi bên cạnh cuối cùng phải hỏi vì sao ông ta cứ lẩm bẩm như vậy. Ông ta bực bội trả lời: "Ông nghĩ xem hơn 1 vạn người xem, 22 cầu thủ, 3 trọng tài, gần 5 trăm cảnh sát... Thế mà có con chim bay qua và nó lại "thả bom" lên đúng đầu của tôi..."

Sưu tầm

Câu chuyện về nhị thức Newton

Để ghi nhớ công lao của Isaac Newton (1642 – 1727) trong việc tìm ra công thức khai triển nhị thức sau, được gọi là nhị thức Newton.
$latex {{(1+x)}^{m}}=1+\frac{m}{1!}x+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+...+\frac{m(m-1)(M-2)...3.2.1}{m!}{{x}^{m}}\,\,\,(1)$
Trên bia mộ của Newton tại tu viện Wesminster (là nơi an nghỉ của Hoàng gia và những người nổi tiếng của nước Anh) người ta còn khắc họa hình Newton cùng với cả nhị thức Newton.

Một mẩu chuyện về sự ra đời Lí thuyết xác suất

Trong khoa học, có những phát minh rất vĩ đại, nhưng cái ý tưởng để dẫn đến phát minh đó lại xuất phát từ những điều rất đổi bình dị.

Ví  như  rất nhiều người nhìn thấy quả táo rơi, nhưng không ai có ấn tượng gì. Nhưng khi Isaac Newton nhìn thấy quả táo rơi, ông ta đã nảy ra ý tưởng mới, và sau đó cho ra đời định luận vạn vật hấp dẫn nổi tiếng - đưa tên tuổi ông vào lịch sử  khoa học.

Trong toán học, cũng có một trường hợp gần như thế. Rất nhiều người đã từng tham gia các trò chơi đánh bạc, nhưng không ai đưa sự mai rủi từ trò chơi này vào khoa học. Nhưng nhà toán học Pascal thì khác.

[Thư giản] Nhà thông thái và bác nông dân

Có một nhà thông thái rất thông minh, nghĩ là mình đã biết mọi chuyện trên đời.

Có lần, ông gặp một bác nông dân trông thật là... nông dân.

Quá tự phụ vào kiến thức của mình, ông ta nói với bác nông dân:

"Bây giờ, ông hỏi tôi 1 câu, nếu tôi không trả lời được thì tôi trả cho ông 10 đôla, sau đó tôi hỏi ông một câu, ông không trả lời được, ông trả tôi 1 đôla."

Bác nông dân suy nghĩ rồi nói: "Được, tôi chấp nhận cá cược".

"Vậy nhường cho ông hỏi trước". Nhà thông thái trả lời.

Bác nông dân nói " Tôi xin hỏi ông, con gì chạy xuống núi bằng 4 chân mà chạy lên núi chỉ bằng 3 chân ? "

Suy nghĩ mãi, mà không tim ra câu trả lời, nhà thông thái  bó tay, đành trả lời "Tôi không biết" và rút 10 đôla ra trả.

Ông bèn hỏi: "Con gì ngộ vậy ? "

Bác nông dân rút 1 đôla trả cho nhà thông thái và nói: "Tôi cũng không biết."

Nhà thông thái:"Hic hic...! bài học đáng giá 9 đôla"

Sưu tầm.

Hướng dẫn giải bài tập hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Đây là phần hướng dẫn giải các bài tập về Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp mà thầy đã gửi cho các em hôm trước. Các em có thể tải về tham khảo tại đây:
Xem hướng dẫn giải tại đây

Bài tập Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

Đây là một số bài tập dành cho học sinh tự  rèn luyện thêm do thầy tổng hợp và biên soạn từ nhiều nguồn khác nhau.

Các em có thể tải về máy và xem tại đây....

Ngoài ra, trong sách bài tập của nhà xuất bản giáo dục có khá nhiều bài tập, có kèm theo lời giải ở phía sau. Các em nên tham khảo trong đó trước.

Bài tập về qui tắc đếm (tt)

bài tập QUI TÁC ĐẾM (tt)

1. Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu ra 1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch, 1 uỷ ban thư ký và không được bầu 1 người vào 2 hay 3 chức vụ. Hỏi có mấy cách ?

2. Có 4 tuyến xe buýt giữa A và B. Có 3 tuyến xe buýt giữa B và C. Hỏi có mấy cách

a) Đi bằng xe buýt từ A đến C, qua B ?

b) Đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C, qua B ?

c) Đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C, qua B sao cho mỗi tuyến xe buýt không đi quá một lần ?

3. Một văn phòng cần chọn mua một tờ nhật báo mỗi ngày. Có 4 loại nhật báo. Hỏi có mấy cách chọn mua báo cho một tuần gồm 6 ngày làm việc?

4. Trong một tuần, Bảo định mỗi tối đi thăm 1 người bạn trong 12 người bạn của mình.

Hỏi Bảo có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn nếu :

a) Có thể thăm 1 bạn nhiều lần ?

b) Không đến thăm 1 bạn quá 1 lần ?

Một số bài tập về qui tắc đếm

Bài 1: Một lớp có 30 học sinh. Cần chọn một bạn làm lớp trưởng, một bạn làm lớp phó và một bạn làm thư ký. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, biết rằng học sinh nào cũng có khả năng làm lớp trưởng, lớp phó hoặc thư ký như nhau.

Bài 2: Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ.

a) Có bao nhiêu cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi về môi trường.

b) Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh gồm 2 nam và 1 nữ tham gia sân chơi kiến thức dưới cờ.

c) Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh trực an toàn giao thông, biết rằng trong đó phải có ít nhất 2 học sinh nam.

Bài 3: Một trường phổ thông có 5 học sinh giỏi lớp 10, 6 học sinh giỏi lớp 11 và 8 học sinh giỏi lớp 12. Cần chọn 4 học sinh để tham gia đội tuyển thi “Đố vui để học”. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu mỗi khối có ít nhất một học sinh.

Bài 4: Một học sinh có 4 quyển sách Toán khác nhau và 3 quyển sách Văn khác nhau. Cần sắp xếp 7 quyển sách trên thành một dãy theo hàng ngang trên một tủ sách.

a) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp.

b) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu 2 quyển kề nhau phải khác nhau.

Bài 5: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu:

a) Số lẻ có 3 chữ số khác nhau.

b) Số chia hết cho 5 và có 3 chữ số khác nhau.

c) Số chia hết cho 3 và có 3 chữ số khác nhau.

Bài 6: Có bao nhiêu cách đi từ A đến D (mỗi điểm chi được đi qua một lần)

Phương trình lượng giác nâng cao

(Bổ trợ kiến thức cho học sinh 11CB)

Đây là tài liệu trình bày về cách giải các phương trình lượng giác do thầy biên soạn, tổng hợp từ nhiều nguồn khác nhau.

Với mong muốn giúp cho những em học sinh học khá, có tài liệu tham khảo, để không bị thiệt thòi sau này trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng. Nội dung của nó khá nhiều, nên trong một buổi học thầy không thể truyền đạt tường tận hết.
Hy vọng sau buổi học, khi về nhà các em học sinh tăng cường phát huy tính tự học, có thế mới tiếp thu tốt tài liệu.

Do một vài nguyên nhân, nên chỉ có thể tặng 12 bản, cho 12 bạn ở 4 lớp thôi. Em nào không thuộc trong 12 bạn đó, nếu muốn tìm hiểu thì có thể photo lại, hoặc tải về ở trang này, rồi in ra tham khảo.

Trong tài liệu gửi cho các em, có một số sai sót Thầy đã chỉnh sửa lại trong buổi học.
Về nhà nghiên cứu, nếu thấy có sai sót gì thêm, các em vui lòng báo cho thầy chỉnh sửa lại cho tài liệu tốt hơn.

Click vào đây để tải về máy tính và xem...

Làm sao để học tốt lượng giác

Nhiều em cứ than vãn"thầy ơi, sao lượng giác khó quá, có nhiều công thức quá, lu bu quá..."

Một số em khác lại hỏi "thầy ơi, có cách nào dễ, học nhanh, học tốt lượng giác không?..."
... Còn rất nhiều câu hỏi, thắc mắc khác... xung quanh làm sao học tốt lượng giác.

Ừm, thì đúng là mới học, lượng giác cũng hơi khó thiệt, nhưng nếu chịu khó đầu tư thời gian cho nó, một khi đã nắm vững cơ bản rồi thì sẽ thấy lượng giác dễ dần, dễ dần...

Còn có cách nào dễ, mà học tốt lượng giác không. Thầy e là hong có quá.

Nhân đây, thầy xin kể một câu chuyện về liên quan tới nhà toán học Euclide (Ơ-Clit). Tục truyền rằng, trong một lần gặp gỡ giữa Euclide và nhà vua Hy Lạp Ptolemaios I Soter, nhà vua hỏi nhà toán học nổi tiếng này: "liệu có thể đến với hình học bằng con đường khác ngắn hơn không? Ông trả lời ngay: "Muôn tâu Bệ hạ, trong hình học không có con đường dành riêng cho vua chúa"

Qua đó mới thấy, để học tốt môn Toán, thì chỉ còn cách là rèn luyện, phấn đấu thôi.

Tìm hiểu chữ số 0

Ngày nay chúng ta sử dụng mười chữ số đó là 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Chỉ với mười chữ số này chúng ta có thể biểu diễn vô số các con số, đủ để sử dụng cho mọi trường hợp.

Trong số mười chữ số thì chữ số 0 được tìm ra muộn nhất; so với các con số khác thì 0 xuất hiện muộn hơn có đến hơn 5000 năm. Thế mới biết số 0 là con số khó nhận được đến đâu. Bạn xem 1 con bò, 2 con vịt, 3 con mèo… đều là các vật thực tồn tại nhìn thấy được, sờ mó được, nên cần phải ghi lại bằng chữ số, do vậy các chữ số 1,2,3,4,5,6… đã có chỗ dùng nên phải có số biểu diễn. Chỉ có số 0 là con số đặc biệt đại biểu cho chữ “không có”, mà đã là “ không có” thì không hình, không ảnh, nên không cần phải biểu diễn thành chữ số.



Cách ghi các con số lâu đời nhất là theo hệ thập phân, khi gặp các con số 10, 100, 1000… vì không có chữ số 0 nên lúc đó không thể dùng cách ghi các con số như chúng ta ngày nay.

Họ nghiệm lượng giác?

Khi học lượng giác, một số em nói không hiểu họ nghiệm trong lượng giác là gì.  Khi nào thì hai họ nghiệm lượng giác giống nhau.

Thầy cũng đã nói qua, nhưng trên lớp không đủ thời gian để nói tường tận.

Để hiểu vấn đề, thầy nghĩ là các em học sinh nên xem kỹ lại phần biểu diễn cung lượng giác lên đường tròn lượng giác ở năm lớp 10.

Ta có thể hiểu đơn giản thế này:
"Mỗi họ nghiệm của phương trình lượng giác là tập hợp các nghiệm có chung một điểm cuối (điểm ngọn) trên đường tròn lượng giác"
Ví dụ: $latex x=\alpha +k2\pi \,\,\,\,\,\,\,(k\in Z)$ là một họ nghiệm.
Hai họn nghiệm được gọi là giống nhau nếu khi biểu diễn lên đường tròn lượng giác, điểm ngọn của chúng trùng nhau.
Ví dụ họ nghiệm $latex x=\frac{\pi}{4} + k2\pi$ và $latex x=\frac{-7\pi}{4}+k2\pi$ là hai họ nghiệm giống nhau.

Ví dụ nghiệm $latex x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}$ gồm 4 họ nghiệm
$latex x=\frac{\pi}{4}+k2\pi$; $latex x=\frac{3\pi}{4}+k2\pi$;$latex x=\frac{5\pi}{4}+k2\pi$;$latex x=\frac{7\pi}{4}+k2\pi$;

Nói tóm lại cho dễ hiểu thế này, phương trình lượng giác nếu có nghiệm thì sẽ có vô số nghiệm.
Trong vô số nghiệm đó, khi biểu diễn lên đường tròn lượng giác sẽ có rất nhiều nghiệm có điểm ngọn trùng nhau. Người ta gom các nghiệm có điểm ngọn trùng nhau đó thành một tập hợp, gọi là họ nghiệm.

Lượng giác Toàn tập

Lượng giác toàn tập bao gồm các vấn về Hệ thức lượng trong tam giác (Hình học lớp 10), các phép biến đổi lượng giác cơ bản ( Đại số 10), phương trình, hệ PT lượng giác (Đại số và giải tích 12), một số bài toán nâng cao đòi hỏi kiến thức 12 về Khảo sát hàm số.

Tài liệu gồm 11 chương:

Chương 1: Công thức lượng giác

Chương 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Chương 3: Phương trình bậc hai đối với các hàm số lượng giác

Chương 4: Phương trình bậc nhất theo sin và cosin

Bài tập ôn chương 1 - Lượng giác

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG 1 LƯỢNG GIÁC 11

Xem Online...

Điểm kiểm tra 15 phút

• 
  

  Lớp 11A2

  
  


• 
  

  Lớp 11A4

  
  


• 
  

  Lớp 11A6

  
  

 

Các em học sinh có thể click vào trên để xem điểm kiểm tra 15 phút theo lớp.

Một số chuyên đề luyện thi ĐH môn Toán

15 chuyên đề luyện thi đại học môn Toán của trường chuyên Hùng Vương.
Tham khảo

Chuyên đề 1: Phương trình và bất phương trình đại số

Chuyên đề 2: Phương trình và bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối

Chuyên đề 3: Hệ phương trình đại số

Chuyên đề 4: Phương trình và bất phương trình chứa căn thức

Chuyên đề 5: Bất đẳng thức

Trục đỗi ứng của một hình

[youtube http://www.youtube.com/watch?v=x1JvW6NE_Lg]

Tóm tắt công thức lượng giác quan trọng cần ghi nhớ

Tải tại liệu tại đây...

Bí quyết nhớ công thức lượng giác 2

Một vài mẹo nhỏ giúp chúng ta ghi nhớ công thức.
Tuy nhiên, để nhớ tốt, chúng ta phải thường xuyên ôn luyện, đọc và áp dụng lại công thức.

Xem online và tải về tại đây...

Những thiên tài tự học "đỉnh" nhất mọi thời đại

Họ đều có điểm chung là không có điều kiện để được học hành đầy đủ nhưng bằng chính sự đam mê, ham học hỏi đã giúp họ thành công và nổi danh.

1. Michael Faraday (1791–1867) – Thiên tài tự học là chính

Tên tuổi của Michael Faraday vô cùng nổi danh trên toàn thế giới và được đánh giá là một trong những nhà khoa học có tầm ảnh hưởng lớn nhất mọi thời đại. Nhưng ít ai biết ông không được học hành hay qua trường lớp đào tạo nào cả mà hầu hết kiến thức ông có được đều là do tự tìm tòi khám phá.

Michael Faraday sinh trưởng trong một gia đinh nghèo tại thành phố London vì thế không có điều kiện để được đi học. Thay vào đó, khi mới tròn 14 tuổi, Faraday đã phải đi làm công việc phụ đóng sách tại một tiệm sách trong hơn 7 năm trời. Trong thời gian tại đây, ông bắt đầu đọc những cuốn sách được giao để đóng và tìm thấy sự say mê thích thú dành cho môn khoa học. Ông đã xin làm phụ tá cho một trong những nhà khoa học nổi tiếng nhất London thời bấy giờ, Humphrey Davy, nhưng bị từ chối vì không có một bằng cấp chính quy hay bất kỳ kinh nghiệm thực tế nào.

Tuy nhiên, bằng nỗ lực và cố gắng, ông đã giành được công việc này sau đó và đã thể hiện khả năng xuất sắc của mình với hàng loạt những phát minh được ra đời như động cơ điện, máy phát điện, lò đốt Bunsen cùng những phát hiện quan trọng khác, tạo nên một cuộc cách mạng trong khoa học và ghi danh ông như là một trong những nhà khoa học vĩ đại nhất trong lịch sử.

Nhà toán học Johannes Kepler

Johannes Kepler (27 tháng 12, 1571 – 15 tháng 11, 1630), một gương mặt quan trọng trong cuộc cách mạng khoa học, là một nhà toán học, nhà chiêm tinh học, nhà thiên văn học, và là một nhà văn ở buổi đầu của những truyện khoa học viễn tưởng người Đức. Ông nổi tiếng nhất về định luật về chuyển động thiên thể, dựa trên những công trình của ông Astronomia nova, Harmonice Mundi và cuốn sách giáo khoa Tóm tắt thiên văn học Copernicus.
Xuyên suốt cuộc đời nghề nghiệp của mình, Kepler là một giáo viên toán ở trường dòng Graz (sau này là trường đại học Graz), là người trợ lý cho Tycho Brahe, là nhà toán học ở triều đình Hoàng đế Rudolf II, giáo viên toán ở Linz, và là nhà thiên văn học của Tướng Wallenstein. Ông cũng thực hiện một công việc mang tính nền tảng về thị giác và giúp đưa vào thực hiện những phát hiện kính thiên văn của người cùng thời với ông là Galileo Galilei.

Thỉnh thoảng ông cũng được coi là "nhà vật lý học thiên thể lý thuyết đầu tiên", mặc dù Carl Sagan cũng coi ông là nhà chiêm tinh học khoa học cuối cùng.