Một chút về quy nạp toán học

Một số em than rằng chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học một mệnh đề nào đó đúng sao khó hiểu quá. Cứ thấy nó chung chung, đâu đâu đó, mặc dầu đã làm đúng theo các trình tự.

Một số em khác mặc dầu đã làm rất tốt, chứng minh theo 2 bước của phương pháp quy nạp xong xui hết. Nhưng vẫn không hiểu được bản chất của vấn đề.

Hầu hết ai mới làm quen với phương pháp quy nạp đều cảm thấy thế, cảm thấy chứng minh của mình có cảm giác như không chặt chẽ lắm. Tuy nhiên, nếu làm nhiều, và chịu khó dành thời gian ngồi ngẫm nghĩ lại tập $latex \mathbb{N}^{*}$ và những điều mình vừa làm, thì sẽ dễ hiểu dần. Và sau đó cảm thấy phương pháp quy nạp thật là tuyệt vời.

Để hiểu thêm vấn đề, đầu tiên ta xem lại tập số tự nhiên đã bỏ đi số 0 là:
$latex {{\mathbb{N}}^{*}}=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }1,2,3,4,.............,k,k+1,................\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$

Vậy ta thấy rằng, bất kì số nào trong tập $latex \mathbb{N}^{*}$ đều tồn tại một số liền sau nó. Ví dụ như: số 1 thì có số 2 liền sau, số 2 thì có số 3, số 3 thì có số 4........ và tổng quát nếu có số k nào đó thì số liền sau của nó là k+1
Chính đều này, nó làm cơ sở quan trọng để ta chứng minh quy nạp.

Ví dụ, bài toán sau đây thuộc loại kinh điển khi học phương pháp quy nạp.
Chứng minh rằng với mọi $latex n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ ta luôn có:

$latex 1+2+3+....+n=\frac{n(n+1)}{2}$          (*)

Ta kí hiệu mệnh đề trên là (*). Ta thấy rằng nếu ta lần lượt thay n=1 hoặc n=2, n=3, n=4.... vào thì (*) đều đúng.
Mà bởi vì tập $latex \mathbb{N}^{*}$ là vô hạn, nên ta không thể thay hết được. Vì vậy chúng ta cần phải tìm một cách tổng quát để chứng minh nó đúng.

Để làm điều này, ta chỉ cần chọn phần tử đầu tiên n=1 thay vào (*) xem nó có đúng hay không, nếu đúng thì ta sẽ chọn một số k bất kì nào đó trong tập $latex \mathbb{N}^{*}$ và giả sử  nó đúng, khi đó ta chứng minh số liền sau của k là số k+1 cũng đúng.

Vậy nếu số k bất kì nào đó đúng, thì số liền sau nó là k+1 cũng đúng. Mà ta vừa kiểm tra k=1 đúng, nên số liền sau k+1 = 2 cũng đúng. Mà số 2 đúng thì số liền sau nó là k+1 = 3 cũng đúng.... và vì thế nó sẽ quét hết tập $latex \mathbb{N}^{*}$.  Nên mệnh đề (*) được chứng minh.

Tuy nhiên, để chặt chẽ thì ta phải làm như sau:
Bước 1: Với n=1 thì $latex (*)\Leftrightarrow 1=\frac{1(1+1)}{2}$ (Đúng)
Bước 2: Giả sử (*) đúng với $latex n=k\ge 1$, ta có:
$latex 1+2+3+....+k=\frac{k(k+1)}{2}$
Ta chứng minh (*) cũng đúng với n=k+1, tức là:
$latex 1+2+3+....+k+(k+1)=\frac{(k+1)\left[ (k+1)+1 \right]}{2}$
Thật vậy, ta có:
VT=$latex \underbrace{1+2+3+....+k}_{{}}+(k+1)$
$latex =\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \frac{k(k+1)}{2}+(k+1)$
$latex =\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}$
$latex =\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \frac{(k+1)(k+2)}{2}$
$latex =\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \frac{(k+1)\left[ (k+1)+1 \right]}{2}=VP$ (đpcm)

Trong quá trình chứng minh theo phương pháp quy nạp thì bước chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1 là khó nhất. Nhìn chung không có một phương pháp cụ thể nào chứng minh bước này cả, vì thế, để chứng minh bước này, ta có thể vận dụng tất cả những kiến thức đã biết, để giải quyết nó.

Phương pháp quy nạp là một trong những phương pháp chứng minh rất hay, nếu sử dụng nó tốt và thành thạo, sau này sẽ rất có ích cho các em khi giải quyết một số bài toán trong đại số và hình học.

Một vài thông tin thêm, hy vọng các em học sinh hiểu hơn về phương pháp quy nạp và càng yêu thích môn Toán hơn.

Đ.T.Hiếu - gv Toán trường THPT Long Thạnh - Giồng Riềng - KG