Một số bài tập về qui tắc đếm

Bài 1: Một lớp có 30 học sinh. Cần chọn một bạn làm lớp trưởng, một bạn làm lớp phó và một bạn làm thư ký. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, biết rằng học sinh nào cũng có khả năng làm lớp trưởng, lớp phó hoặc thư ký như nhau.

Bài 2: Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ.

a) Có bao nhiêu cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi về môi trường.

b) Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh gồm 2 nam và 1 nữ tham gia sân chơi kiến thức dưới cờ.

c) Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh trực an toàn giao thông, biết rằng trong đó phải có ít nhất 2 học sinh nam.

Bài 3: Một trường phổ thông có 5 học sinh giỏi lớp 10, 6 học sinh giỏi lớp 11 và 8 học sinh giỏi lớp 12. Cần chọn 4 học sinh để tham gia đội tuyển thi “Đố vui để học”. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu mỗi khối có ít nhất một học sinh.

Bài 4: Một học sinh có 4 quyển sách Toán khác nhau và 3 quyển sách Văn khác nhau. Cần sắp xếp 7 quyển sách trên thành một dãy theo hàng ngang trên một tủ sách.

a) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp.

b) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu 2 quyển kề nhau phải khác nhau.

Bài 5: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu:

a) Số lẻ có 3 chữ số khác nhau.

b) Số chia hết cho 5 và có 3 chữ số khác nhau.

c) Số chia hết cho 3 và có 3 chữ số khác nhau.

Bài 6: Có bao nhiêu cách đi từ A đến D (mỗi điểm chi được đi qua một lần)

Phương trình lượng giác nâng cao

(Bổ trợ kiến thức cho học sinh 11CB)

Đây là tài liệu trình bày về cách giải các phương trình lượng giác do thầy biên soạn, tổng hợp từ nhiều nguồn khác nhau.

Với mong muốn giúp cho những em học sinh học khá, có tài liệu tham khảo, để không bị thiệt thòi sau này trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng. Nội dung của nó khá nhiều, nên trong một buổi học thầy không thể truyền đạt tường tận hết.
Hy vọng sau buổi học, khi về nhà các em học sinh tăng cường phát huy tính tự học, có thế mới tiếp thu tốt tài liệu.

Do một vài nguyên nhân, nên chỉ có thể tặng 12 bản, cho 12 bạn ở 4 lớp thôi. Em nào không thuộc trong 12 bạn đó, nếu muốn tìm hiểu thì có thể photo lại, hoặc tải về ở trang này, rồi in ra tham khảo.

Trong tài liệu gửi cho các em, có một số sai sót Thầy đã chỉnh sửa lại trong buổi học.
Về nhà nghiên cứu, nếu thấy có sai sót gì thêm, các em vui lòng báo cho thầy chỉnh sửa lại cho tài liệu tốt hơn.

Click vào đây để tải về máy tính và xem...

Làm sao để học tốt lượng giác

Nhiều em cứ than vãn"thầy ơi, sao lượng giác khó quá, có nhiều công thức quá, lu bu quá..."

Một số em khác lại hỏi "thầy ơi, có cách nào dễ, học nhanh, học tốt lượng giác không?..."
... Còn rất nhiều câu hỏi, thắc mắc khác... xung quanh làm sao học tốt lượng giác.

Ừm, thì đúng là mới học, lượng giác cũng hơi khó thiệt, nhưng nếu chịu khó đầu tư thời gian cho nó, một khi đã nắm vững cơ bản rồi thì sẽ thấy lượng giác dễ dần, dễ dần...

Còn có cách nào dễ, mà học tốt lượng giác không. Thầy e là hong có quá.

Nhân đây, thầy xin kể một câu chuyện về liên quan tới nhà toán học Euclide (Ơ-Clit). Tục truyền rằng, trong một lần gặp gỡ giữa Euclide và nhà vua Hy Lạp Ptolemaios I Soter, nhà vua hỏi nhà toán học nổi tiếng này: "liệu có thể đến với hình học bằng con đường khác ngắn hơn không? Ông trả lời ngay: "Muôn tâu Bệ hạ, trong hình học không có con đường dành riêng cho vua chúa"

Qua đó mới thấy, để học tốt môn Toán, thì chỉ còn cách là rèn luyện, phấn đấu thôi.

Tìm hiểu chữ số 0

Ngày nay chúng ta sử dụng mười chữ số đó là 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Chỉ với mười chữ số này chúng ta có thể biểu diễn vô số các con số, đủ để sử dụng cho mọi trường hợp.

Trong số mười chữ số thì chữ số 0 được tìm ra muộn nhất; so với các con số khác thì 0 xuất hiện muộn hơn có đến hơn 5000 năm. Thế mới biết số 0 là con số khó nhận được đến đâu. Bạn xem 1 con bò, 2 con vịt, 3 con mèo… đều là các vật thực tồn tại nhìn thấy được, sờ mó được, nên cần phải ghi lại bằng chữ số, do vậy các chữ số 1,2,3,4,5,6… đã có chỗ dùng nên phải có số biểu diễn. Chỉ có số 0 là con số đặc biệt đại biểu cho chữ “không có”, mà đã là “ không có” thì không hình, không ảnh, nên không cần phải biểu diễn thành chữ số.



Cách ghi các con số lâu đời nhất là theo hệ thập phân, khi gặp các con số 10, 100, 1000… vì không có chữ số 0 nên lúc đó không thể dùng cách ghi các con số như chúng ta ngày nay.

Họ nghiệm lượng giác?

Khi học lượng giác, một số em nói không hiểu họ nghiệm trong lượng giác là gì.  Khi nào thì hai họ nghiệm lượng giác giống nhau.

Thầy cũng đã nói qua, nhưng trên lớp không đủ thời gian để nói tường tận.

Để hiểu vấn đề, thầy nghĩ là các em học sinh nên xem kỹ lại phần biểu diễn cung lượng giác lên đường tròn lượng giác ở năm lớp 10.

Ta có thể hiểu đơn giản thế này:
"Mỗi họ nghiệm của phương trình lượng giác là tập hợp các nghiệm có chung một điểm cuối (điểm ngọn) trên đường tròn lượng giác"
Ví dụ: $latex x=\alpha +k2\pi \,\,\,\,\,\,\,(k\in Z)$ là một họ nghiệm.
Hai họn nghiệm được gọi là giống nhau nếu khi biểu diễn lên đường tròn lượng giác, điểm ngọn của chúng trùng nhau.
Ví dụ họ nghiệm $latex x=\frac{\pi}{4} + k2\pi$ và $latex x=\frac{-7\pi}{4}+k2\pi$ là hai họ nghiệm giống nhau.

Ví dụ nghiệm $latex x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}$ gồm 4 họ nghiệm
$latex x=\frac{\pi}{4}+k2\pi$; $latex x=\frac{3\pi}{4}+k2\pi$;$latex x=\frac{5\pi}{4}+k2\pi$;$latex x=\frac{7\pi}{4}+k2\pi$;

Nói tóm lại cho dễ hiểu thế này, phương trình lượng giác nếu có nghiệm thì sẽ có vô số nghiệm.
Trong vô số nghiệm đó, khi biểu diễn lên đường tròn lượng giác sẽ có rất nhiều nghiệm có điểm ngọn trùng nhau. Người ta gom các nghiệm có điểm ngọn trùng nhau đó thành một tập hợp, gọi là họ nghiệm.

Lượng giác Toàn tập

Lượng giác toàn tập bao gồm các vấn về Hệ thức lượng trong tam giác (Hình học lớp 10), các phép biến đổi lượng giác cơ bản ( Đại số 10), phương trình, hệ PT lượng giác (Đại số và giải tích 12), một số bài toán nâng cao đòi hỏi kiến thức 12 về Khảo sát hàm số.

Tài liệu gồm 11 chương:

Chương 1: Công thức lượng giác

Chương 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Chương 3: Phương trình bậc hai đối với các hàm số lượng giác

Chương 4: Phương trình bậc nhất theo sin và cosin

Bài tập ôn chương 1 - Lượng giác

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG 1 LƯỢNG GIÁC 11

Xem Online...

Điểm kiểm tra 15 phút

• 
  

  Lớp 11A2

  
  


• 
  

  Lớp 11A4

  
  


• 
  

  Lớp 11A6

  
  

 

Các em học sinh có thể click vào trên để xem điểm kiểm tra 15 phút theo lớp.

Một số chuyên đề luyện thi ĐH môn Toán

15 chuyên đề luyện thi đại học môn Toán của trường chuyên Hùng Vương.
Tham khảo

Chuyên đề 1: Phương trình và bất phương trình đại số

Chuyên đề 2: Phương trình và bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối

Chuyên đề 3: Hệ phương trình đại số

Chuyên đề 4: Phương trình và bất phương trình chứa căn thức

Chuyên đề 5: Bất đẳng thức

Trục đỗi ứng của một hình

[youtube http://www.youtube.com/watch?v=x1JvW6NE_Lg]

Tóm tắt công thức lượng giác quan trọng cần ghi nhớ

Tải tại liệu tại đây...

Bí quyết nhớ công thức lượng giác 2

Một vài mẹo nhỏ giúp chúng ta ghi nhớ công thức.
Tuy nhiên, để nhớ tốt, chúng ta phải thường xuyên ôn luyện, đọc và áp dụng lại công thức.

Xem online và tải về tại đây...

Những thiên tài tự học "đỉnh" nhất mọi thời đại

Họ đều có điểm chung là không có điều kiện để được học hành đầy đủ nhưng bằng chính sự đam mê, ham học hỏi đã giúp họ thành công và nổi danh.

1. Michael Faraday (1791–1867) – Thiên tài tự học là chính

Tên tuổi của Michael Faraday vô cùng nổi danh trên toàn thế giới và được đánh giá là một trong những nhà khoa học có tầm ảnh hưởng lớn nhất mọi thời đại. Nhưng ít ai biết ông không được học hành hay qua trường lớp đào tạo nào cả mà hầu hết kiến thức ông có được đều là do tự tìm tòi khám phá.

Michael Faraday sinh trưởng trong một gia đinh nghèo tại thành phố London vì thế không có điều kiện để được đi học. Thay vào đó, khi mới tròn 14 tuổi, Faraday đã phải đi làm công việc phụ đóng sách tại một tiệm sách trong hơn 7 năm trời. Trong thời gian tại đây, ông bắt đầu đọc những cuốn sách được giao để đóng và tìm thấy sự say mê thích thú dành cho môn khoa học. Ông đã xin làm phụ tá cho một trong những nhà khoa học nổi tiếng nhất London thời bấy giờ, Humphrey Davy, nhưng bị từ chối vì không có một bằng cấp chính quy hay bất kỳ kinh nghiệm thực tế nào.

Tuy nhiên, bằng nỗ lực và cố gắng, ông đã giành được công việc này sau đó và đã thể hiện khả năng xuất sắc của mình với hàng loạt những phát minh được ra đời như động cơ điện, máy phát điện, lò đốt Bunsen cùng những phát hiện quan trọng khác, tạo nên một cuộc cách mạng trong khoa học và ghi danh ông như là một trong những nhà khoa học vĩ đại nhất trong lịch sử.

Nhà toán học Johannes Kepler

Johannes Kepler (27 tháng 12, 1571 – 15 tháng 11, 1630), một gương mặt quan trọng trong cuộc cách mạng khoa học, là một nhà toán học, nhà chiêm tinh học, nhà thiên văn học, và là một nhà văn ở buổi đầu của những truyện khoa học viễn tưởng người Đức. Ông nổi tiếng nhất về định luật về chuyển động thiên thể, dựa trên những công trình của ông Astronomia nova, Harmonice Mundi và cuốn sách giáo khoa Tóm tắt thiên văn học Copernicus.
Xuyên suốt cuộc đời nghề nghiệp của mình, Kepler là một giáo viên toán ở trường dòng Graz (sau này là trường đại học Graz), là người trợ lý cho Tycho Brahe, là nhà toán học ở triều đình Hoàng đế Rudolf II, giáo viên toán ở Linz, và là nhà thiên văn học của Tướng Wallenstein. Ông cũng thực hiện một công việc mang tính nền tảng về thị giác và giúp đưa vào thực hiện những phát hiện kính thiên văn của người cùng thời với ông là Galileo Galilei.

Thỉnh thoảng ông cũng được coi là "nhà vật lý học thiên thể lý thuyết đầu tiên", mặc dù Carl Sagan cũng coi ông là nhà chiêm tinh học khoa học cuối cùng.

Nhà toán học Cantor

Bố của Georg Cantor, là ông Georg Waldemar Cantor, một nhà buôn thành đạt làm việc tại một đại lý lớn tại St Petersburg, và sau đó làm người môi giới ở Chợ Chứng Khoán St Petersburg. Georg Waldemar Cantor sinh ra tại Đan Mạch, là một người có lòng say mê với văn hóa và nghệ thuật. Mẹ của Georg, bà Maria Anna Böhm sinh ra ở Nga,rất có năng khiếu về âm nhạc. Và dĩ nhiên, Georg có được gen năng khiếu âm nhạc và hội họa từ ba mẹ mình, nổi bật là một tay dương cầm điêu luyện. Georg trở thành một người theo đạo Tin Lành, đó là tôn giáo của cha ông, trong khi mẹ của ông lại là một người theo đạo Kito hữu.

Sau khi được dạy dỗ ở nhà nhờ một gia sư, Cantor theo học tiểu học ở thành phố St Petersburg và năm 1856, khi ông lên 11 tuổi, gia đình ông chuyển sang Đức. Cantor:
"...nghĩ lại lúc còn học ở Nga, với nỗi nhớ da diết và không hề vơi đi khi ông sống ở Đức, mặc dầu ông đã sống ở đây đến hết cuộc đời của mình, song dường như ông chưa bao giờ viết tiếng Nga, ngôn ngữ mà ông nên biết"

Nhà toán học nữ: Sofia Kovalevskaya

Kovalevskaya, Sofia Vasilyevna (15/1/1850 - 10/2/1891)
Nơi sinh: Moscow, Nga. Nơi mất : Stockholm, Thụy Điển
Sofia Kovalevskaya là con giữa của viên tướng pháo binh Vasily Korvin-Krukovsky, và Velizaveta Shubert, cả hai đều là những người được giáo dục của giới quý tộc Nga. Sofia được dạy dỗ bởi các gia sư, đầu tiên sống tại Palabino, lãnh địa của Krukovsky, sau đó tại St. Petersburg, và tham gia vào nhóm xã hội của gia đình bà, trong đó có nhà văn Dostoevsky.

Sofia bị sức hấp dẫn của toán học lôi cuốn ngay từ khi còn rất nhỏ. Người chú của cô, Pyotr Vasilievich Krukovsky, một người rất quan tâm đến toán học, đã nói cho cô về những vấn đề của môn toán. Sofia viết trong tự truyện của mình:"ý nghĩa của các khái niệm này đương nhiên tôi không thể hiểu hết được, nhưng chúng đã tác động lên trí tưởng tượng của tôi, truyền cho tôi sự sùng bái toán học như một môn khoa học cao quý và bí hiểm, có thể mở ra một thế giới của những con người kỳ diệu, vô bờ bến."

Nhà toán học Archimedes - Ac si mét

Archimedes là nhà toán học, vật lý học và kỹ sư của Hy Lạp cổ. Mặc dù cuộc đời công còn nhiều điều chưa biết rõ nhưng ông được xem như là một trong những người quan trọng nhất của nền khoa học cổ đại. Ngoài những khám phá về toán học và hình học Archimedes còn nghiên cứu về máy móc.
Các sử gia La Mã cổ đại có hứng thú đặc biệt với Archimedes và đã viết nhiều bản tài liệu về cuộc đời và công việc của ông, trong khi đó các bản sao chép luận án của ông vẫn tồn tại qua thời Trung Cổ và tạo ra ảnh hưởng mạnh mẽ trong thời kỳ Phục Hưng. Công trình đầu tiên của ông được biết tới là phép cộng một chuỗi số vô hạn với phương pháp vẫn còn được sử dụng trong tính toán ngày nay.

FIBONACCI Leonardo, ngưới Ý, 1175-1240

Tên thật là Léonard de Pise, tự Fibonacci (nghĩa là con của Bonaccio”), Leonardo là con của một viên chức Thành Phố Pise. Thương gia và nhà du lịch lớn , Ông đi khắp Châu Âu  và nghiên cứu toán học của thời đại

Trong cuốn Liber Abaci (sách tính toán), in năm 1202, chủ yếu là các phép toán về thương mại, ông giải các bài toán đại số trong tác phẩm toán học của  Al Khwarizmi.

Fibonacci sử dụng nhiều đến các số “arabes” (hệ thống thập phân) tính toán phân số và phương pháp giải các phương trình . Ông cho ấn hành tập hình học, Practica geometriae (1220), trong đó ông dùng phương pháp đại số giải các bài toán hình học và tập các phép toán tìm căn bậc hai,bậc ba (Liber Quadratorum, 1225).

Cuốn Liber Abaci cũng là tuyển tập các bài toán nhỏ nổi tiếng như bài toán nổi tiếng  về sự sinh sản của loài thỏ :

Bước đầu ta có một cặp thỏ, hỏi sau mười hai tháng ta có bao nhiêu cặp thỏ biết rằng mỗi cặp thỏ mỗi tháng sinh ra một cặp thỏ mới kể từ tháng thứ hai khi nó sinh ra

Sơ lược lịch sử số học

Các con số và hệ thống đếm

Các hệ đếm cổ (từ thiên niên kỷ III TCN)

Những bảng đất sét Lưỡng Hà tìm thấy ở Sure và Uruk (hiện nay là Warka, Iraq) hoặc muộn hơn nhiều ở Nippur (Babylon, 2200-1350 TCN), cho thấy hệ thống đếm đã được ghi chép lại vào thiên niên kỷ thứ III trước CN. Hệ đếm của người Babylon là một hệ cơ số 60, cách tính thời gian của chúng ta bắt nguồn từ đó. Hồi đó chưa biết tới số không và những đơn vị vắng mặt (thiếu) được biểu thị bằng một chỗ khuyết hoặc hai vạch nhỏ [1].

Các số Babylon trên 1 bảng đất sét

Phương pháp tính chu vi trái đất của Eratosthène

Năm 332 trước Công nguyên, Alexandre le Grand xâm chiếm Ai cập. Từ đó Ai Cập chịu ảnh hưởng của văn hóa Hy lạp trong ba thế kỷ. Trong thời kỳ đó, Khoa học có nhiều tiến bộ lớn, đặc biệt nhất là ngành Thiên văn  và Toán. Trong số đó, có : Aristarque de Samos:

Ông phát biểu giả thuyết trái đất tròn và chứng minh bằng những nghiên cứu thiên văn (đáng kể nhất là cái bóng hình nón trên mặt trăng trong kỳ nguyệt thực)

Eratosthène.

Giám đốc thư viện Alexandrie năm 236 TCN, nên ông đọc được  tất cả kiến thức của thời ông.

Năm 205 TCN, ông đề nghị một phương pháp thuần túy hình học để tính chu vi trái đất



Eratoshène quan sát  thấy rằng bóng các vật ở những nơi khác nhau thì không giống nhau. Ðặc biệt ông so sánh những bóng  ông đã quan sát giữa hai tỉnh Syène phía Nam và Alexandrie ở phía Bắc trong ngày Hạ chí (một trong hai lần trong một năm khi mặt trời ở xa xích đạo nhất về phía Bắc hoặc phía Nam. Ðiểm chí: Summer solstice: Hạ chí là 21/06 ở Bắc bán cầu. Winter solstice: Ðông chí, tức là ngày 22/12 ở Bắc bán cầu).