Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 2)

Dạng Toán: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng   (cách 2)

PHƯƠNG PHÁP:
- Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng.
- Tìm cách chứng minh giao tuyến đó song song với một đường thẳng nào đó.

Khi đó, giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung và song song với một đường thẳng vừa chứng minh xong.

Cách này áp dụng khi ta đã tìm được một điểm chung, và khi bắt tay vào tìm điểm chung thứ  hai thì khó khăn,tìm hoài mà không thấy nó là giao điểm của hai đường nào cả. Thì lúc này hãy nghĩ ngay đến cách này, có thể chứng minh giao tuyến đó song song với đường nào đó hay không.

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD. P là một điểm thuộc cạnh SB. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SBD) và (MNP)

Giải:

Ta thấy $latex P\in SB\subset (SBD)$
Nên P là điểm chung của (SBD) và (MNP)

Do M, N là trung điểm của AB và AD nên MN  là đường trung bình của tam giác ABD, nên MN // BD

Mà $latex MN\subset (MNP)$
$latex BD\subset (SBD)$
Gọi $latex d=(MNP)\cap (SBD)$
Suy ra d là đường thẳng đi qua điểm  P  và song song với BD.



Hình sau đây hai mặt phẳng được tô màu:



Video trong không gian 3 chiều:

[youtube http://www.youtube.com/watch?v=rpOQb6Op_H0]

Bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng là một dạng cơ bản, chúng ta phải tập và làm cho thành thạo, để sau này áp dụng vào tìm thiết diện.

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 1)

Dạng Toán: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

PHƯƠNG PHÁP:
- Tìm 2 điểm chung của hai mặt phẳng.
- Đường thẳng qua hai điểm chung đó chính là giao tuyến.

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ  giác S.ABCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)

Giải:

Ta thấy S là điểm chung của (SAC) và (SBD)

Gọi $latex O=AB\cap BD$

$latex \Rightarrow O\in AC\subset (SAC)$

$latex \Rightarrow O\in BD\subset (SBD)$

Vậy O là điểm chung thứ hai của (SAC) và (SBD)

Nên giao tuyến là đường thẳng SO.

Còn đây là hình có màu dễ nhìn

Ví dụ 2: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AD. P là một điểm thuộc cạnh AC sao cho AP = 2PC. Hãy tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) và (BCD)

Giải:

Do AP=2PC nên MP không song song BC và NP không song song DC nên kéo dài chúng cắt nhau.

Gọi $latex F=MP\cap BC$
Ta có:
$latex F\in MP\subset (MNP)$
$latex F\in BC\subset (BCD)$

Nên F là điểm chung của (MNP) và (BCD)

Tương tự, gọi $latex E=NP\cap DC$
Ta cũng có E là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến là đường EF

Hình sau đây được tô màu hai mặt phẳng:


Ở cách này, ta chú ý đi tìm 2 điểm chung, thông thương điểm chung thứ nhất rất dễ nhận thấy, còn điểm chung thứ hai, ta cần để ý có hai đường thẳng nào đồng phẳng và không song song, kéo dài ra chúng sẽ cắt nhau tại một điểm nào đó.

Một số video hình học không gian

Một số đối tượng hình học trong không gian:

[youtube http://www.youtube.com/watch?v=l3cSucOZIlA]

Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt:

[youtube http://www.youtube.com/watch?v=4Zb6CCgImac]

Qua ba điểm không thẳng hàng ta có 1 mặt phẳng:

[youtube http://www.youtube.com/watch?v=6CDnA8haqyE]

Dãy Fibonacci và gia đình thỏ

"Một đôi thỏ (gồm 1 thỏ đực và 1 thỏ cái) cứ mỗi tháng đẻ được một đôi thỏ con (cũng gồm một thỏ đực và một thỏ cái); mỗi đôi thỏ con, khi tròn hai tháng tuổi, lại mỗi tháng đẻ ra một thỏ con và quá trình sinh nở cứ thế tiếp diễn. Hỏi sau một năm sẽ có bao nhiêu đôi thỏ, nếu đầu năm (tháng 1) có một đôi thỏ sơ sinh."



Số đôi thỏ tuân theo dãy số Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...

Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal

Dãy Fibonacci và số cánh hoa

Như ta đã biết dãy số Fibanacci được cho bằng công thức truy hồi có dạng:
$latex {{u}_{1}}={{u}_{2}}=1\,\,,\,\,\,\,\,\,{{u}_{n+1}}={{u}_{n-1}}+{{u}_{n-2}}$ với $latex n\ge 3$

Và dạng khai triển là: $latex ({{u}_{n}}):1,\,\,1,\,\,2,\,\,3,\,\,5,\,\,8,\,\,13,\,\,21,\,\,34,\,\,55...$

Có một điều thật thú vị là trong tự nhiên, trong hội họa... lại có nhiều điều trùng khớp với dãy Fibonacci.

Ví dụ như số cánh hoa chẳng hạn:

Hoa Calla Lily có 1 cánh

Euphobia có 2 cánh

Một chút về quy nạp toán học

Một số em than rằng chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học một mệnh đề nào đó đúng sao khó hiểu quá. Cứ thấy nó chung chung, đâu đâu đó, mặc dầu đã làm đúng theo các trình tự.

Một số em khác mặc dầu đã làm rất tốt, chứng minh theo 2 bước của phương pháp quy nạp xong xui hết. Nhưng vẫn không hiểu được bản chất của vấn đề.

Hầu hết ai mới làm quen với phương pháp quy nạp đều cảm thấy thế, cảm thấy chứng minh của mình có cảm giác như không chặt chẽ lắm. Tuy nhiên, nếu làm nhiều, và chịu khó dành thời gian ngồi ngẫm nghĩ lại tập $latex \mathbb{N}^{*}$ và những điều mình vừa làm, thì sẽ dễ hiểu dần. Và sau đó cảm thấy phương pháp quy nạp thật là tuyệt vời.

Để hiểu thêm vấn đề, đầu tiên ta xem lại tập số tự nhiên đã bỏ đi số 0 là:
$latex {{\mathbb{N}}^{*}}=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }1,2,3,4,.............,k,k+1,................\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$

Vậy ta thấy rằng, bất kì số nào trong tập $latex \mathbb{N}^{*}$ đều tồn tại một số liền sau nó. Ví dụ như: số 1 thì có số 2 liền sau, số 2 thì có số 3, số 3 thì có số 4........ và tổng quát nếu có số k nào đó thì số liền sau của nó là k+1
Chính đều này, nó làm cơ sở quan trọng để ta chứng minh quy nạp.

Ví dụ, bài toán sau đây thuộc loại kinh điển khi học phương pháp quy nạp.
Chứng minh rằng với mọi $latex n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ ta luôn có:

$latex 1+2+3+....+n=\frac{n(n+1)}{2}$          (*)

Ta kí hiệu mệnh đề trên là (*). Ta thấy rằng nếu ta lần lượt thay n=1 hoặc n=2, n=3, n=4.... vào thì (*) đều đúng.

Một câu lượng giác trong đề thi Casio

Giải phương trình:
$latex 2\sin x+4\cos x+2\cos 2x=5$
$latex \Leftrightarrow 2\sin x+4\cos x+4{{\cos }^{2}}x=7\,\,\,(*)$
Ta dễ thấy $latex x=\pi $ không phải là nghiệm của (*).
Ta đặt $latex t=\tan \frac{x}{2}\Rightarrow \sin x=\frac{2t}{1+{{t}^{2}}};\cos x=\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}$
$latex (*)\Leftrightarrow 2\frac{2t}{1+{{t}^{2}}}+4\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}+4{{\left( \frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}} \right)}^{2}}=7$
$latex \Leftrightarrow 7{{t}^{4}}-4{{t}^{3}}+22{{t}^{2}}-4t-1=0$
Đặt $latex f(t)=7{{t}^{4}}-4{{t}^{3}}+22{{t}^{2}}-4t-1$
$latex \Rightarrow f'(t)=28{{t}^{3}}-12{{t}^{2}}+44t-4$
Ta dùng máy tính Casio giải, thấy $latex f'(t)=0$ chỉ có 1 nghiệm thực, suy ra f(t)=0 có nhiều nhất là 2 nghiệm thực.
Dùng lệnh Shift Solve để giải, ta tính được:
$latex {{t}_{1}}\approx -0.139534911\Leftrightarrow {{x}_{1}}\approx -0.2772795278+k2\pi $
$latex {{t}_{2}}\approx 0.3285208647\Leftrightarrow {{x}_{2}}\approx 0.6348261953+k2\pi $
Trong đề thi yêu cầu làm tròn tới đâu thì làm tới đó là xong.

Bài tập về nhà

1) Gieo đồng tiền 2 lần liên tiếp. Tính xác suất để hai lần gieo đều xuất hiện các mặt như nhau ?

2) Gieo con súc sắc cân đối và đồng chất 1 lần. Tính xác suất để số chấm xuất hiện không bé hơn 3 ?

3) Một anh nông dân có 36 con vịt, có 45 con gà và 4 đứa con trai. Nhân dịp đầu năm mới, anh định bắt một con gà, một con vịt và kêu một đứa con trai mang biếu nhà Ngoại. Hỏi anh có bao nhiêu cách chọn ?

4) Trong mặt phẳng có 36 điểm khác nhau và không có bất kì ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu vector, đoạn thẳng, tam giác, tứ giác ?

5) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9. Có thể lập được bao nhiêu số:

a) lẻ có 4 chữ số khác nhau ?

b) chẵn có 5 chữ số khác nhau ?

c) có 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 ?

6) Gieo một con súc sắc 2 lần liên tiếp. Tính xác suất để hai lần gieo xuất hiện các mặt giống nhau ?

7) Gieo một đồng tiền 3 lần liên tiếp. Tính xác suất để trong 3 lần gieo có đúng hai lần các mặt xuất hiện giống nhau ?

8) Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton của $latex {{(2a-4)}^{9}}$

9) Tìm hạng tử không chứa x trong khai triển của $latex {{\left( 3{{x}^{3}}-\frac{2}{x} \right)}^{24}}$

Bài tập nhị thức Newton và Xác suất 11CB

Một số bài tập làm thêm, dành cho học sinh tự ôn luyện thêm, để chuẩn bị tốt cho kiểm tra 1 tiết đại số vào cuối chương II.

Các em học sinh có thể click vào đây để tải về máy xem hoặc in ra...

Những tay chơi làm các sòng bạc run sợ [xác suất-thống kê]

Thông thường, chẳng mấy tay chơi có thể đánh bại nhà cái khi chơi bạc, song có những nhân vật muốn thắng lúc nào cũng được. Họ là ai?

(Ảnh: Olamacauguide.com)

Bất cứ ai bước qua cánh cửa sòng bạc đều rất lạc quan, tất cả đều tin rằng họ sẽ là người chiến thắng. Tuy vậy, hầu hết các tay bạc đều là những kẻ thất bại do mỗi ván bài đều được nhà cái tính toán kỹ càng. Nhưng những tay bạc dưới đây đều là kẻ thắng, dù bằng trí thông minh hay bằng gian lận thì họ đã bước ra khỏi sòng bạc với một món tiền khổng lồ.

Có thể nhiều người coi danh sách những tay bạc cự phách là quá Mỹ nhưng đó là những gì cuộc khảo sát này thu thập được. Vì rằng, Mỹ có một văn hóa cờ bạc hơn các nước khác do quốc gia này là nơi đóng đô của thiên đường bài bạc Las Vegas, Atlantic City và hàng chục thành phố nổi tiếng với các sòng bạc khác. 

Điểm TB tính đến 13 tháng 10

Đây là điểm trung bình môn Toán, tính đến ngày 13 tháng 10.

Nhìn chung, có khoản 60% học sinh bị dưới trung bình, nếu không cố gắng thêm, thì kết quả học kỳ 1 sẽ rất tệ.

Bài tập ôn tập hình học, chương 1

Đây là bài tập tham khảo thêm cho việc ôn tập hình học 11, chương 1 để kiểm tra 1 tiết.

Các em có thể tải về máy tính và xem tại đây....

Chuyện vui về Xác suất

Chuyện vui về Xác suất

Con voi

Trong thế chiến II, vào năm 1941 máy bay Đức oanh tạc Matxcova dữ đội, mọi người thường ngủ trong hầm, riêng một nhà thống kê thì không thèm xuống...

Khi được hỏi, ông ta trả lời : "Ở Matxcova có 5 triệu dân, xác suất trúng bom cho một người nào đó là quá thấp!". Đến một hôm nọ mọi người thấy ông ở trong hầm nên rất ngạc nhiên và hỏi ông vì sao. Ông trả lời: "Ồ, có 5 triệu dân ở Matxcova và chỉ có một con voi ở Sở thú, thế mà bạn biết không, hôm qua bọn Đức ném bom chết con voi đó mất !"

Xác suất 1%

Một bệnh nhân tỏ ra lo lắng trước khi được mổ bằng một phương pháp mới.
Bác sĩ phẫu thuật động viên: "Anh yên tâm đi, trường hợp của anh chắc chắn thành công!".
"Dạ sao bác sĩ có thể nói chắc vậy, em nghe nói tỉ lệ thành công của phương pháp này chỉ là 1%!".
"OK. Nhưng tôi đã mổ 99 ca rồi".
"Kết quả như thế nào bác sĩ".
"Thì thất bại hết, nhưng anh may mắn là ca thứ 100, nên thành công là đương nhiên thôi"

Hơn 1 vạn người xem

Trong một trận đá banh, mọi người đều ngạc nhiên khi thấy một người cứ ngồi lẩm bẩm: "Hơn 1 vạn người xem, 22 cầu thủ, 3 trọng tài, gần 5 trăm cảnh sát...;Hơn 1 vạn người xem, 22 cầu thủ, 3 trọng tài, gần 5 trăm cảnh sát...;Hơn 1 vạn người xem, 22 cầu thủ, 3 trọng tài, gần 5 trăm cảnh sát...;"...
Người ngồi bên cạnh cuối cùng phải hỏi vì sao ông ta cứ lẩm bẩm như vậy. Ông ta bực bội trả lời: "Ông nghĩ xem hơn 1 vạn người xem, 22 cầu thủ, 3 trọng tài, gần 5 trăm cảnh sát... Thế mà có con chim bay qua và nó lại "thả bom" lên đúng đầu của tôi..."

Sưu tầm

Câu chuyện về nhị thức Newton

Để ghi nhớ công lao của Isaac Newton (1642 – 1727) trong việc tìm ra công thức khai triển nhị thức sau, được gọi là nhị thức Newton.
$latex {{(1+x)}^{m}}=1+\frac{m}{1!}x+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+...+\frac{m(m-1)(M-2)...3.2.1}{m!}{{x}^{m}}\,\,\,(1)$
Trên bia mộ của Newton tại tu viện Wesminster (là nơi an nghỉ của Hoàng gia và những người nổi tiếng của nước Anh) người ta còn khắc họa hình Newton cùng với cả nhị thức Newton.

Một mẩu chuyện về sự ra đời Lí thuyết xác suất

Trong khoa học, có những phát minh rất vĩ đại, nhưng cái ý tưởng để dẫn đến phát minh đó lại xuất phát từ những điều rất đổi bình dị.

Ví  như  rất nhiều người nhìn thấy quả táo rơi, nhưng không ai có ấn tượng gì. Nhưng khi Isaac Newton nhìn thấy quả táo rơi, ông ta đã nảy ra ý tưởng mới, và sau đó cho ra đời định luận vạn vật hấp dẫn nổi tiếng - đưa tên tuổi ông vào lịch sử  khoa học.

Trong toán học, cũng có một trường hợp gần như thế. Rất nhiều người đã từng tham gia các trò chơi đánh bạc, nhưng không ai đưa sự mai rủi từ trò chơi này vào khoa học. Nhưng nhà toán học Pascal thì khác.

[Thư giản] Nhà thông thái và bác nông dân

Có một nhà thông thái rất thông minh, nghĩ là mình đã biết mọi chuyện trên đời.

Có lần, ông gặp một bác nông dân trông thật là... nông dân.

Quá tự phụ vào kiến thức của mình, ông ta nói với bác nông dân:

"Bây giờ, ông hỏi tôi 1 câu, nếu tôi không trả lời được thì tôi trả cho ông 10 đôla, sau đó tôi hỏi ông một câu, ông không trả lời được, ông trả tôi 1 đôla."

Bác nông dân suy nghĩ rồi nói: "Được, tôi chấp nhận cá cược".

"Vậy nhường cho ông hỏi trước". Nhà thông thái trả lời.

Bác nông dân nói " Tôi xin hỏi ông, con gì chạy xuống núi bằng 4 chân mà chạy lên núi chỉ bằng 3 chân ? "

Suy nghĩ mãi, mà không tim ra câu trả lời, nhà thông thái  bó tay, đành trả lời "Tôi không biết" và rút 10 đôla ra trả.

Ông bèn hỏi: "Con gì ngộ vậy ? "

Bác nông dân rút 1 đôla trả cho nhà thông thái và nói: "Tôi cũng không biết."

Nhà thông thái:"Hic hic...! bài học đáng giá 9 đôla"

Sưu tầm.

Hướng dẫn giải bài tập hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Đây là phần hướng dẫn giải các bài tập về Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp mà thầy đã gửi cho các em hôm trước. Các em có thể tải về tham khảo tại đây:
Xem hướng dẫn giải tại đây

Bài tập Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

Đây là một số bài tập dành cho học sinh tự  rèn luyện thêm do thầy tổng hợp và biên soạn từ nhiều nguồn khác nhau.

Các em có thể tải về máy và xem tại đây....

Ngoài ra, trong sách bài tập của nhà xuất bản giáo dục có khá nhiều bài tập, có kèm theo lời giải ở phía sau. Các em nên tham khảo trong đó trước.

Bài tập về qui tắc đếm (tt)

bài tập QUI TÁC ĐẾM (tt)

1. Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu ra 1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch, 1 uỷ ban thư ký và không được bầu 1 người vào 2 hay 3 chức vụ. Hỏi có mấy cách ?

2. Có 4 tuyến xe buýt giữa A và B. Có 3 tuyến xe buýt giữa B và C. Hỏi có mấy cách

a) Đi bằng xe buýt từ A đến C, qua B ?

b) Đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C, qua B ?

c) Đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C, qua B sao cho mỗi tuyến xe buýt không đi quá một lần ?

3. Một văn phòng cần chọn mua một tờ nhật báo mỗi ngày. Có 4 loại nhật báo. Hỏi có mấy cách chọn mua báo cho một tuần gồm 6 ngày làm việc?

4. Trong một tuần, Bảo định mỗi tối đi thăm 1 người bạn trong 12 người bạn của mình.

Hỏi Bảo có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn nếu :

a) Có thể thăm 1 bạn nhiều lần ?

b) Không đến thăm 1 bạn quá 1 lần ?